百钱买百鸡
百钱买百鸡的问题算是一套非常经典的不定方程的问题，题目很简单：公鸡5文钱一只，母鸡3文钱一只，小鸡3只一文钱，
用100文钱买一百只鸡,其中公鸡，母鸡，小鸡都必须要有，问公鸡，母鸡，小鸡要买多少只刚好凑足100文钱。
分析：估计现在小学生都能手工推算这套题，只不过我们用计算机来推算，我们可以设公鸡为x，母鸡为y，小鸡为z，那么我们
可以得出如下的不定方程，
x+y+z=100,
5x+3y+z/3=100，
下面再看看x，y，z的取值范围。
由于只有100文钱，则5x 0<x<20, 同理 0<y<33,那么z=100-x-y，
好，我们已经分析清楚了，下面就可以编码了。
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class Program { static void Main(string[] args) { //公鸡的上线 for (int x = 1; x < 20; x++) { //母鸡的上线 for (int y = 1; y< 33; y++) { //剩余小鸡 var z = 100 - x - y; if ((z % 3 == 0) && (x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100)) { Console.WriteLine("公鸡:{0}只，母鸡:{1}只,小鸡:{2}只", x, y, z); } } } Console.Read(); } } |
结果出来了，确实这道题非常简单，我们要知道目前的时间复杂度是O(N2),实际应用中这个复杂度是不能让你接受的，最多最多能让
人接受的是O(N)。
所以说我们必须要优化一下，从结果中我们可以发现这样的一个规律：公鸡是4的倍数,母鸡是7的递减率，小鸡是3的递增率，规律哪里
来，肯定需要我们推算一下这个不定方程。
x+y+z=100 ①
5x+3y+z/3=100 ②
令②x3-① 可得
7x+4y=100
=>y=25-(7/4)x ③
又因为0<y<100的自然数，则可令
x=4k ④
将④代入③可得
=> y=25-7k ⑤
将④⑤代入①可知
=> z=75+3k ⑥
要保证0<x，y，z<100的话，k的取值范围只能是1,2,3，下面我们继续上代码。
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class Program { static void Main(string[] args) { int x, y, z; for (int k = 1; k <= 3; k++) { x = 4 * k; y = 25 - 7 * k; z = 75 + 3 * k; Console.WriteLine("公鸡:{0}只，母鸡:{1}只,小鸡:{2}只", x, y, z); } Console.Read(); } } |
这一次我们做到了O(N)的时间复杂度，很不错。
五家共井
五家人共用一口井，甲家的绳子用两条不够，还要再用乙家的绳子一条才能打到井水；乙家的绳子用三条不够，还要再用丙家的绳子一条才能打到井水；丙家的绳子用四条不够，还要再用丁家的绳子一条才能打到井水；丁家的绳子用五条不够，还要再用戊家的绳子一条才能打到井水；戊家的绳子用六条不够，还要再用甲家的绳子一条才能打到井水。
最后问：井有多深？每家的绳子各有多长？
这道题其实不难，大家应该都可以做出来，和上面的百钱买百鸡的问题差不多，那就有人问了，那为什么还要写出来呢，当然是普通方法会让复杂度让人难以接受的，复杂度为O(n2),需要优化。
算法一：时间复杂度为O(n2)
算法分析:根据题目可以列的一下方程(len为井深)
len1*2+len2 = len
len2*3+len3 = len
len3*4+len4 = len
len4*5+len5 = len
len5*6+len1 = len
进一步化简
len1=len2+len3/2
len2=len3+len4/3
len3=len4+len5/4
len4=len5+len1/5
从上面算式可以得到len3是2的倍数，len4是3的倍数,len5是4的倍数,len1是5的倍数。
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public class WJGJ { static void WJGJ( int[] len1, int[] len2, int[] len3, int[] len4, int[] len5, int[] len) // 五家共井算法 { for (len5[0] = 4;; len5[0] += 4) // len5为4的倍数 for (len1[0] = 5;; len1[0] += 5) // len1为5的倍数 { len4[0] = len5[0] + len1[0] / 5; len3[0] = len4[0] + len5[0] / 4; if (len3[0] % 2 != 0 || len4[0] % 3 != 0) continue; // 如果不能被2整除或若不能被3整除，进行下一次循环 len2[0] = len3[0] + len4[0] / 3; if (len2[0] + len3[0] / 2 < len1[0]) break; // 切回len5[0]循环(因为x太大了) if (len2[0] + len3[0] / 2 == len1[0]) { len[0] = 2 * (len1[0]) + (len2[0]); // 计算井深 return; } } } public static void main(String[] args) { int[] len1 = { 0 }; int[] len2 = { 0 }; int[] len3 = { 0 }; int[] len4 = { 0 }; int[] len5 = { 0 }; int[] len = { 0 }; WJGJ(len1, len2, len3, len4, len5, len); // 求解算法 System.out.printf("五家共井问题求解结果如下:\n"); // 输出结果 System.out.printf("甲家井绳长度为:%d\n", len1[0]); System.out.printf("乙家井绳长度为:%d\n", len2[0]); System.out.printf("丙家井绳长度为:%d\n", len3[0]); System.out.printf("丁家井绳长度为:%d\n", len4[0]); System.out.printf("戌家井绳长度为:%d\n", len5[0]); System.out.printf("井深:%d\n", len[0]); } } |
算法二：时间复杂度O(n1)
我们令甲为a，乙为b，丙为c,丁为d，戊为e，井深为h,则
2a+b=h ① 3b+c=h ② 4c+d=h ③ 5d+e=h ④ 6e+a=h ⑤
将其变形：
b=h-2a ⑥
c=h-3b ⑦
d=h-4c ⑧
e=h-5d ⑨
a=h-6e ⑩
将⑥，⑧，⑨，⑩分别代入⑦,可得：
c=(148/721)h
令 h=721k,则 c=148k，将其代入⑥，⑦，⑧，⑨，⑩可得：
a=265k
b=191k
c=148k
d=129k
e=76k
h=721k
因为绳长和井深不可能为负，所以k > 0，当然这样这个题目就有无数个解的，我这里去 0 < k <４；
代码为：
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public static void main(String[] args) { for (int i = 1; i < 4; i++) { int a = 265 * i; int b = 191 * i; int c = 148 * i; int d = 192 * i; int e = 76 * i; int h = 721 * i; System.out.println("甲绳：" + a + "乙绳：" + b + "丙绳：" + c + "丁绳：" + d + "戊绳：" + e + "井深：" + h); } } |
这样复杂度就变为０（ｎ）了，在这样我把这种方法叫做“统一变量法”（即减少循环的次数），大家以后遇到类似的题目可以尝试下哦。。。。