算法问题:百钱买百鸡、五家共井

百钱买百鸡

百钱买百鸡的问题算是一套非常经典的不定方程的问题,题目很简单:公鸡5文钱一只,母鸡3文钱一只,小鸡3只一文钱,

用100文钱买一百只鸡,其中公鸡,母鸡,小鸡都必须要有,问公鸡,母鸡,小鸡要买多少只刚好凑足100文钱。

分析:估计现在小学生都能手工推算这套题,只不过我们用计算机来推算,我们可以设公鸡为x,母鸡为y,小鸡为z,那么我们

可以得出如下的不定方程,

x+y+z=100,

5x+3y+z/3=100,

下面再看看x,y,z的取值范围。

由于只有100文钱,则5x 0<x<20, 同理 0<y<33,那么z=100-x-y,

好,我们已经分析清楚了,下面就可以编码了。

 

结果出来了,确实这道题非常简单,我们要知道目前的时间复杂度是O(N2),实际应用中这个复杂度是不能让你接受的,最多最多能让

人接受的是O(N)。

所以说我们必须要优化一下,从结果中我们可以发现这样的一个规律:公鸡是4的倍数,母鸡是7的递减率,小鸡是3的递增率,规律哪里

来,肯定需要我们推算一下这个不定方程。

x+y+z=100          ①

5x+3y+z/3=100    ②

令②x3-① 可得

7x+4y=100

=>y=25-(7/4)x          ③

又因为0<y<100的自然数,则可令

x=4k                    ④

将④代入③可得

=> y=25-7k               ⑤

将④⑤代入①可知

=> z=75+3k               ⑥

要保证0<x,y,z<100的话,k的取值范围只能是1,2,3,下面我们继续上代码。

 

这一次我们做到了O(N)的时间复杂度,很不错。

五家共井

五家人共用一口井,甲家的绳子用两条不够,还要再用乙家的绳子一条才能打到井水;乙家的绳子用三条不够,还要再用丙家的绳子一条才能打到井水;丙家的绳子用四条不够,还要再用丁家的绳子一条才能打到井水;丁家的绳子用五条不够,还要再用戊家的绳子一条才能打到井水;戊家的绳子用六条不够,还要再用甲家的绳子一条才能打到井水。
最后问:井有多深?每家的绳子各有多长?
这道题其实不难,大家应该都可以做出来,和上面的百钱买百鸡的问题差不多,那就有人问了,那为什么还要写出来呢,当然是普通方法会让复杂度让人难以接受的,复杂度为O(n2),需要优化。

算法一:时间复杂度为O(n2)

算法分析:根据题目可以列的一下方程(len为井深)

len1*2+len2 = len

len2*3+len3 = len

len3*4+len4 = len

len4*5+len5 = len

len5*6+len1 = len

进一步化简

len1=len2+len3/2

len2=len3+len4/3

len3=len4+len5/4

len4=len5+len1/5

从上面算式可以得到len3是2的倍数,len4是3的倍数,len5是4的倍数,len1是5的倍数。

算法二:时间复杂度O(n1)

我们令甲为a,乙为b,丙为c,丁为d,戊为e,井深为h,则

2a+b=h ① 3b+c=h ②  4c+d=h ③ 5d+e=h ④ 6e+a=h ⑤

将其变形:
b=h-2a ⑥

c=h-3b ⑦

d=h-4c ⑧

e=h-5d ⑨

a=h-6e ⑩
将⑥,⑧,⑨,⑩分别代入⑦,可得:
c=(148/721)h
令 h=721k,则 c=148k,将其代入⑥,⑦,⑧,⑨,⑩可得:
a=265k

b=191k

c=148k

d=129k

e=76k

h=721k
因为绳长和井深不可能为负,所以k > 0,当然这样这个题目就有无数个解的,我这里去 0 < k <4;
代码为:

这样复杂度就变为0(n)了,在这样我把这种方法叫做“统一变量法”(即减少循环的次数),大家以后遇到类似的题目可以尝试下哦。。。。